Zimmer’s conjecture

http://golos-dobra.livejournal.com/1156199.html

### Zimmer’s conjecture

https://www.quantamagazine.org/a-proof-about-where-symmetries-cant-exist-20181023/
Год назад трио математиков решило то, что называется гипотезой Циммера, что связано с обстоятельствами, при которых геометрические пространства проявляют определенные виды симметрий. Их доказательство является одним из самых больших математических достижений в последние годы. Он решает вопрос, возникший для Циммера в период интенсивной интеллектуальной деятельности в конце 1970-х и начале 1980-х годов.
«Я бы сказал, что в течение пяти лет я никогда не ложился спать, не думая об этом каждую ночь, так что это было довольно одержимо, и просто здорово видеть, как люди это решают», - сказал Циммер.
Симметрия входит в число первых геометрических понятий, которые дети встречают в математике. Благодаря практическим манипуляциям они видят, что можно вращать, переворачивать и скользить по фигуре и заканчивать тем, с какой они начали. Это сохранение объекта под изменением имеет удовлетворительный резонанс - это намек на глубокое чувство порядка во Вселенной.
Математики имеют свой собственный формальный язык для изучения симметрии. Язык предоставляет им краткий способ подумать обо всех различных симметриях, которые применяются к данному геометрическому пространству.
Квадрат, например, имеет восемь симметрий - восемь способов, которыми его можно перевернуть или повернуть, чтобы вернуть квадрат. Напротив, круг можно поворачивать на любое число градусов; он имеет бесконечные симметрии. Математики принимают все симметрии для данного геометрического объекта или пространства и упаковывают их в «группу».
Группы представляют собой объекты, представляющие интерес сами по себе. Они часто возникают благодаря изучению определенного геометрического пространства, но они также проявляются в совершенно негеометрических контекстах. Например, наборы чисел могут формировать группы. (Рассмотрим: существует определенная симметрия, позволяющая добавить +5 или -5 к числу.)
«Группа может в принципе возникать как симметрия всех видов вещей, - сказал Циммер.
Есть более экзотические формы симметрии, чем те, которые мы изучаем в начальной школе. Рассмотрим, например, симметрии решеток. Простейшая решетка - это просто двумерная сетка. В плоскости вы можете сдвинуть решетку вверх, вниз, влево или вправо на любое количество квадратов и в итоге получить решетку, которая будет выглядеть точно так же, как вы начали. Вы можете также отразить решетку по любому отдельному квадрату в сетке. Пространства, снабженные решетками, имеют бесконечное число различных симметрий решетки.
Иногда это очевидно, когда группы не могут быть применены к пространству. Требуется только один момент, чтобы понять, что группа симметрии круга не может быть применена к квадрату. Например, поверните квадрат на 10 градусов, и вы не получите обратно квадрат, с которого вы начали. Но сочетание группы с бесконечными симметриями и пространством со многими измерениями затрудняет определение того, применяется ли группа.
«По мере того как вы получаете более сложные группы в гораздо более высоком измерении, - сказал Циммер, - эти вопросы становятся намного более сложными».
В своей новой работе три математика доказывают, что ослабление определения симметрии на самом деле не меняется, когда применяются решетчатые симметрии более высокого ранга. Даже когда вы разрешаете решеткам преобразовывать пространство очень нерегулярными способами - сдвигом, изгибом, растяжением - решетки по-прежнему жестко ограничены в том месте, где они могут действовать.
«Поскольку вы добавили столько гибкости в проблему, непосредственная наивная интуиция, конечно, эти решетки могут действовать. Поэтому удивительно, что ответа нет, в некоторых случаях они не могут, - сказал Фишер.
Математики установили точные соотношения между размерностью пространства и размерностью или ранга решеток, которые могут служить симметриями этого пространства. В общем, они показали, что чем выше ранг решетки, тем больше размеров требуется пространство, чтобы иметь возможность разместить его. Даже когда у вас есть значительная гибкость в том, как вы трансформируете пространство, преобразования решетки высокого ранга ограничиваются более объемными пространствами.
https://arxiv.org/pdf/1710.02735.pdf
Non-compactness allows both measures and Lyapunov exponents to escape to infinity under averaging and a number of algebraic, geometric, and dynamical tools are used control this escape. New ideas are provided by the work of Lubotzky, Mozes, and Raghunathan on the structure of nonuniform lattices and, in particular, of SL(m, Z) providing a geometric decomposition of the cusp into rank one directions, whose geometry is more easily controlled.
http://math.uchicago.edu/~awbrown/ZimNotes.pdf
LYAPUNOV EXPONENTS, ENTROPY, AND ZIMMER’S CONJECTURE FOR ACTIONS OF COCOMPACT LATTICE
https://en.wikipedia.org/wiki/Oseledets_theorem
См. также
https://ru.wikipedia.org/wiki/Бежаев,_Иван_Осипович - дед
https://ru.wikipedia.org/wiki/Оселедец,_Валерий_Иустинович - папа
https://oslik1.livejournal.com/81862.html - сын и внук